Superformula

超级方程式
📖算法说明
▶️曲线绘制过程演示

超级公式是超椭圆的推广，由 Johan Gielis 在 2000 年左右提出。 Gielis 认为该公式可以用来描述自然界中存在的许多复杂形状和曲线。Gielis 已提交与超级公式生成的模式合成相关的专利申请，该专利于 2020 年 5 月 10 日到期。

在极坐标中，有半径和 $\varphi$ 角度，超级公式为：

$r\left(\varphi\right) = \left( \left| \frac{\cos\left(\frac{m\varphi}{4}\right)}{a} \right| ^{n_2} + \左| \frac{\sin\left(\frac{m\varphi}{4}\right)}{b} \right| ^{n_3} \right) ^{-\frac{1}{n_{1} }}。$

通过为参数选择不同的值 $a,b,m,n_{1},n_{2},$ 和 $n_{3},$ 可以生成不同的形状。

该公式是对超椭圆进行推广得到的，由丹麦数学家皮特·海因命名并推广。

在以下示例中，每个图上方显示的值应为m、n ₁、n ₂和n ₃。

通过超级公式的球积，可以将公式扩展到 3、4 或n维。例如，通过将两个超级公式r ₁和r ₂相乘获得3D 参数化表面。坐标由以下关系定义：

$x=r_{1}(\theta )\cos \theta \cdot r_{2}(\phi )\cos \phi ,$

$y=r_{1}(\theta )\sin \theta \cdot r_{2}(\phi )\cos \phi ,$

$z=r_{2}(\phi )\sin \phi ,$

$\phi$ （纬度）在 − π /2 和π /2 之间变化，θ（经度）在 − π和π之间变化。

3D超级公式：a = b = 1；m、n ₁、n ₂和n ₃显示在图片中。

可以通过在超级公式的两项中允许不同的m个参数来概括超级公式。通过替换第一个参数{\displaystyle m}带有y和第二个参数{\displaystyle m}与z :

$r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {y\varphi }{4}}\right)}{a}}\right |^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {z\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3} }\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}$

这允许创建旋转不对称和嵌套结构。在下面的例子中 a, b、 ${n_{2}}$ 和 ${n_{3}}$ 是 1:

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